費(fèi)馬大定理證明過程,費(fèi)馬大定理的證明方法

費(fèi)馬大定理的證明方法： x+y=z有無(wú)窮多組整數(shù)解，稱為一個(gè)三元組；x^2+y^2=z^2也有無(wú)窮多組整數(shù)解，這個(gè)結(jié)論在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代就被他的學(xué)生證明，稱為畢達(dá)哥拉斯三元組，我們中國(guó)人稱他們?yōu)楣垂蓴?shù)。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數(shù)解。 最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。于是迄今為止最偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和。因此，就有了： 已知：a^2+b^2=c^2 令c=b+k，k=1.2.3……，則a^2+b^2=(b+k)^2。 因?yàn)椋�整�?shù)c必然要比a與b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3…… 設(shè)：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)； 則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3…… 當(dāng)n=1時(shí)，d+h=p，d、h與p可以是任意整數(shù)。 當(dāng)n=2時(shí)，a=d，b=h，c=p，則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。 當(dāng)n≥3時(shí)，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。 因?yàn)椋琣=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保證d、h、p為整數(shù)，就必須保證a、b、c必須都是完全平方數(shù)。 a、b、c必須是整數(shù)的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數(shù)。 假若d、h、p不能在公式中同時(shí)以整數(shù)的形式存在的話，則費(fèi)馬大定理成立。 擴(kuò)展資料： 1993年6月在劍橋牛頓學(xué)院要舉行一個(gè)名為“L函數(shù)和算術(shù)”的學(xué)術(shù)會(huì)議，組織者之一正是懷爾斯的博士導(dǎo)師科茨，于是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學(xué)術(shù)會(huì)上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。 1994年10月25日11點(diǎn)4分11秒，懷爾斯通過他以前的學(xué)生、美國(guó)俄亥俄州立大學(xué)教授卡爾.魯賓向世界數(shù)學(xué)界發(fā)了費(fèi)馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長(zhǎng)文“模橢圓曲線和費(fèi)馬大定理”，作者安德魯.懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數(shù)的環(huán)論性質(zhì)”作者理查德.泰勒和安德魯.懷爾斯。至此費(fèi)馬大定理得證。 懷爾斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的時(shí)間，用之前一個(gè)懷爾斯曾經(jīng)拋棄過的方法修補(bǔ)了這個(gè)漏洞，這部份的證明與巖澤理論有關(guān)。這就證明了谷山-志村猜想，從而最終證明了費(fèi)馬大定理。 參考資料：百度百科-費(fèi)馬大定理

費(fèi)爾馬大定理神秘的面紗終于在1995年揭開，被43歲的英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯(A.Wiles)一舉證明。
你可以在下面這個(gè)網(wǎng)頁(yè)中看到全部證明過程（英文）
http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt08.htm

以下是參考資料：

1637年，費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn) 一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”畢竟費(fèi)馬沒有寫下證明，而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣。數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展。

對(duì)得多不同的 n，費(fèi)馬定理早被證明了。但數(shù)學(xué)家對(duì)一般情況在首二百年內(nèi)仍一籌莫展。

1908年，德國(guó)佛爾夫斯克宣布以10萬(wàn)馬克作為獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給在他逝世后一百年內(nèi)，第一個(gè)證明該定理的人。

1983年， Gerd Faltings 證明了 Mordell conjecture 從而得出當(dāng) n > 2 時(shí)（n為整數(shù)），不存在互質(zhì)的 a，b，c 使得 an + bn = cn。

1986年，Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的，則橢圓曲線

y2 = x(x-an)(x + bn)
會(huì)是谷山志村猜想的一個(gè)反例。Frey 的猜想隨即被 Kenneth Ribet 證實(shí)。此猜想顯示了費(fèi)馬大定理與橢圓曲線及 modular forms 的密切關(guān)系。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例范圍內(nèi)證明了谷山志村猜想，F(xiàn)rey 的橢圓曲線剛好在這一特例范圍內(nèi)，從而證明了費(fèi)馬大定理。

懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時(shí)間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然后于1993年6月在一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極嚴(yán)重的錯(cuò)誤。懷爾斯和泰勒然后用了近一年時(shí)間嘗試補(bǔ)救，終在1994年9月以一個(gè)之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功。他們的證明刊在1995年的Annals of Mathematics之上。
費(fèi)爾馬大定理神秘的面紗終于在1995年揭開，被43歲的英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯(A.Wiles)一舉證明。
你可以在下面這個(gè)網(wǎng)頁(yè)中看到全部證明過程（英文）
http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt08.htm

以下是參考資料：

1637年，費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn) 一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”畢竟費(fèi)馬沒有寫下證明，而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣。數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展。

對(duì)得多不同的 n，費(fèi)馬定理早被證明了。但數(shù)學(xué)家對(duì)一般情況在首二百年內(nèi)仍一籌莫展。

1908年，德國(guó)佛爾夫斯克宣布以10萬(wàn)馬克作為獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給在他逝世后一百年內(nèi)，第一個(gè)證明該定理的人。

1983年， Gerd Faltings 證明了 Mordell conjecture 從而得出當(dāng) n > 2 時(shí)（n為整數(shù)），不存在互質(zhì)的 a，b，c 使得 an + bn = cn。

1986年，Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的，則橢圓曲線

y2 = x(x-an)(x + bn)
會(huì)是谷山志村猜想的一個(gè)反例。Frey 的猜想隨即被 Kenneth Ribet 證實(shí)。此猜想顯示了費(fèi)馬大定理與橢圓曲線及 modular forms 的密切關(guān)系。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例范圍內(nèi)證明了谷山志村猜想，F(xiàn)rey 的橢圓曲線剛好在這一特例范圍內(nèi)，從而證明了費(fèi)馬大定理。

懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時(shí)間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然后于1993年6月在一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極嚴(yán)重的錯(cuò)誤。懷爾斯和泰勒然后用了近一年時(shí)間嘗試補(bǔ)救，終在1994年9月以一個(gè)之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功。他們的證明刊在1995年的Annals of Mathematics之上。

馬猜想〔Fermat's conjecture〕又稱費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬問題，是數(shù)論中最著名的世界難題之一。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在巴歇校訂的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的《算術(shù)》第II卷第8命題旁邊寫道：「將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。」費(fèi)馬去世后，人們找不到這個(gè)猜想的證明，由此激發(fā)起許多數(shù)學(xué)家的興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數(shù)學(xué)家都試證過，但誰(shuí)也沒有得到普遍的證法。300多年以來，無(wú)數(shù)優(yōu)秀學(xué)者為證明這個(gè)猜想，付出了巨大精力，同時(shí)亦產(chǎn)生出不少重要的數(shù)學(xué)概念及分支。 若用不定方程來表示，費(fèi)馬大定理即：當(dāng)n > 2時(shí)，不定方程xn y n = z n 沒有xyz≠0的整數(shù)解。為了證明這個(gè)結(jié)果，只需證明方程x4 y 4 = z 4 ，(x , y) = 1和方程xp yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1〔p是一個(gè)奇素?cái)?shù)〕均無(wú)xyz≠0的整數(shù)解。 n = 4的情形已由萊布尼茨和歐拉解決。費(fèi)馬本人證明了p = 3的情，但證明不完全。勒讓德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕證明了p = 5的情形。1839年，拉梅證明了p = 7的情形。1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枌?duì)費(fèi)馬猜想作出了突破性的工作。他創(chuàng)立了理想數(shù)論，這使得他證明了當(dāng)p 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xn y n = z n ，則x > 101,800,000。

　費(fèi)馬大定理證明過程:
　　對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n整數(shù)解關(guān)系的證明，多年來在數(shù)學(xué)界一直頗多爭(zhēng)議。本文利用平面幾何方法，全面分析了直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的存在條件，提出對(duì)多元代數(shù)式應(yīng)用增元求值。本文給出的直角三角型邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則”；“增比計(jì)算法則”；“定差公式法則”；“a值奇偶數(shù)列法則”；是平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法；本文提出建立了一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪式與絕對(duì)非方冪式概念；本文利用同方冪數(shù)增比性質(zhì)，利用整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式性質(zhì)，把費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整數(shù)解判定問題，巧妙地化為了一元定解方程問題。
　　關(guān)鍵詞：增元求解法 絕對(duì)方冪式絕對(duì)非方冪式 相鄰整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式
　　引言：1621年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）在讀看古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantna）著寫的算術(shù)學(xué)一書時(shí)，針對(duì)書中提到的直角三角形三邊整數(shù)關(guān)系，提出了方程x^n+y^n=z^n在n=2時(shí)有無(wú)窮多組整數(shù)解，在n＞2時(shí)永遠(yuǎn)沒有整數(shù)解的觀點(diǎn)。并聲稱自己當(dāng)時(shí)進(jìn)行了絕妙的證明。這就是被后世人稱為費(fèi)馬大定理的曠世難題。時(shí)至今日，此問題的解答仍繁難冗長(zhǎng)，紛爭(zhēng)不斷，令人莫衷一是。
　　本文利用直角三角形、正方形的邊長(zhǎng)與面積的相互關(guān)系，建立了費(fèi)馬方程平方整數(shù)解新的直觀簡(jiǎn)潔的理論與實(shí)踐方法，本文利用同方冪數(shù)增比定理，對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)的整數(shù)解關(guān)系進(jìn)行了分析論證，用代數(shù)方法再現(xiàn)了費(fèi)馬當(dāng)年的絕妙證明。
　　定義1．費(fèi)馬方程
　　人們習(xí)慣上稱x^n+y^n=z^n關(guān)系為費(fèi)馬方程，它的深層意義是指：在指數(shù)n值取定后，其x、y、z均為整數(shù)。
　　在直角三角形邊長(zhǎng)中，經(jīng)常得到a、b、c均為整數(shù)關(guān)系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，這時(shí)由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次數(shù)為2時(shí)，費(fèi)馬方程與勾股弦定理同階。當(dāng)指數(shù)大于2時(shí)，費(fèi)馬方程整數(shù)解之研究，從歐拉到狄里克萊，已經(jīng)成為很大的一門數(shù)學(xué)分支.
　　定義2．增元求解法
　　在多元代數(shù)式的求值計(jì)算中引入原計(jì)算項(xiàng)元以外的未知數(shù)項(xiàng)元加入，使其構(gòu)成等式關(guān)系并參與求值運(yùn)算。我們把利用增加未知數(shù)項(xiàng)元來實(shí)現(xiàn)對(duì)多元代數(shù)式求值的方法，叫增元求解法。
　　利用增元求解法進(jìn)行多元代數(shù)式求值，有時(shí)能把非常復(fù)雜的問題變得極其簡(jiǎn)單。
　　下面，我們將利用增元求解法來實(shí)現(xiàn)對(duì)直角三角形三邊a^2+b^2=c^2整數(shù)解關(guān)系的求值。
　　一，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則”
　　定理1．如a、b、c分別是直角三角形的三邊，Q是增元項(xiàng)，且Q≥1，滿足條件：
　　a≥3
　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q
　　c= Q+b
　　則此時(shí)，a^2+b^2=c^2是整數(shù)解；
　　證：在正方形面積關(guān)系中，由邊長(zhǎng)為a得到面積為a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q為增元項(xiàng)，且b、Q是整數(shù)）,則可把面積a^2分解為a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解關(guān)系按下列關(guān)系重新組合后可得到圖形：
　　Q2 Qb
　　其缺口剛好是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形。補(bǔ)足缺口面積b^2后可得到一個(gè)邊長(zhǎng)
　　Qb
　　為Q+b的正方形，現(xiàn)取Q+b=c，根據(jù)直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2條件可知，此時(shí)的a、b、c是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)。
　　故定理1得證
　　應(yīng)用例子：
　　例1． 利用定a計(jì)算法則求直角三角形a邊為15時(shí)的邊長(zhǎng)平方整數(shù)解?
　　解：取 應(yīng)用例子：a為15，選增元項(xiàng)Q為1，根據(jù)定a計(jì)算法則得到：
　　a= 15
　　{ b=（a^2- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112
　　c=Q+b=1+112=113
　　所以得到平方整數(shù)解15^2+112^2=113^2
　　再取a為15，選增元項(xiàng)Q為3，根據(jù)定a計(jì)算法則得到：
　　a= 15
　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36
　　c=Q+b=3+36=39
　　所以得到平方整數(shù)解15^2+36^2=39^2
　　定a計(jì)算法則，當(dāng)取a=3、4、5、6、7 … 時(shí)，通過Q的不同取值，將函蓋全部平方整數(shù)解。
　　二，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“增比計(jì)算法則”
　　定理2．如a^2+b^2=c^2 是直角三角形邊長(zhǎng)的一組整數(shù)解，則有（an）^2+（bn）^2 =（cn）^2（其中n=1、2、3…）都是整數(shù)解。
　　證：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整數(shù)解必得到一個(gè)邊長(zhǎng)都為整數(shù)的直角三角形 a c ，根據(jù)平面線段等比放大的原理，三角形等比放大得到 2a 2c；
　　b 2b
　　3a 3c；4a 4c；… 由a、b、c為整數(shù)條件可知，2a、2b、2c；
　　3b 4b
　　3a、3b、3c；4a、4b、4c… na、nb、nc都是整數(shù)。
　　故定理2得證
　　應(yīng)用例子：
　　例2．證明303^2+404^2=505^2是整數(shù)解？
　　解；由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整數(shù)解，根據(jù)增比計(jì)
　　4
　　算法則，以直角三角形 3×101 5×101 關(guān)系為邊長(zhǎng)時(shí)，必有
　　4×101
　　303^2+404^2=505^2是整數(shù)解。
　　三，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“定差公式法則”
　　3a + 2c + n = a1
　　（這里n=b-a之差，n=1、2、3…）
　　定理3．若直角三角形a^2+^b2=c^2是滿足b-a=n關(guān)系的整數(shù)解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式連求得到的a1、a2、a3…ai 所組成的平方數(shù)組ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差關(guān)系的整數(shù)解。
　　證：取n為1，由直角三角形三邊3、4、5得到3^2+4^2=5^2，這里n=b-a=4-3=1，根據(jù) 3a + 2c + 1= a1定差公式法則有：
　　a1=3×3+2×5+1=20 這時(shí)得到
　　20^2+21^2=29^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：
　　a2=3×20+2×29+1=119 這時(shí)得到
　　119^2+120^2=169^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到
　　a3=3×119+2×169+1=696 這時(shí)得到
　　696^2+697^2=985^2
　　…
　　故定差為1關(guān)系成立
　　現(xiàn)取n為7，我們有直角三角形21^2+28^2=35^2，這里n=28-21=7，根據(jù) 3a + 2c + 7 = a1定差公式法則有：
　　a1=3×21+2×35+7=140 這時(shí)得到
　　140^2+147^2=203^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：
　　a2=3×140+2×203+7=833 這時(shí)得到
　　833^2+840^2=1183^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：
　　a3=3×833+2×1183+7=4872 這時(shí)得到
　　4872^2+4879^2=6895^2
　　…
　　故定差為7關(guān)系成立
　　再取n為129，我們有直角三角形387^2+516^2=645^2，這里n=516-387=129，根據(jù) 3a + 2c + 129= a1定差公式法則有：
　　a1=3×387+2×645+129=2580 這時(shí)得到
　　2580^2+2709^2=3741^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：
　　a2=3×2580+2×3741+129=15351 這時(shí)得到
　　15351^2+15480^2=21801^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：
　　a3=3×15351+2×21801+129=89784 這時(shí)得到
　　89784^2+89913^2=127065^2
　　…
　　故定差為129關(guān)系成立
　　故定差n計(jì)算法則成立
　　故定理3得證
　　四，平方整數(shù)解a^2+^b2=c^2的a值奇偶數(shù)列法則：
　　定理4． 如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)，則必有如下a值的奇數(shù)列、偶數(shù)列關(guān)系成立；
　　（一） 奇數(shù)列a：
　　若a表為2n+1型奇數(shù)（n=1、2、3 …）， 則a為奇數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是：
　　a=2n+1
　　{ c=n^2+（n+1）^2
　　b=c-1
　　證：由本式條件分別取n=1、2、3 … 時(shí)得到：
　　3^2+4^2=5^2
　　5^2+12^2=13^2
　　7^2+24^2=25^2
　　9^2+40^2=41^2
　　11^2+60^2=61^2
　　13^2+84^2=85^2
　　…
　　故得到奇數(shù)列a關(guān)系成立
　　（二）偶數(shù)列a：
　　若a表為2n+2型偶數(shù)（n=1、2、3 …）， 則a為偶數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是：
　　a=2n+2
　　{ c=1+（n+1）^2
　　b=c-2
　　證：由本式條件分別取n=1、2、3 … 時(shí)得到：
　　4^2+3^2=5^2
　　6^2+8^2=10^2
　　8^2+15^2=17^2
　　10^2+24^2=26^2
　　12^2+35^2=37^2
　　14^2+48^2=50^2
　　…
　　故得到偶數(shù)列a關(guān)系成立
　　故定理4關(guān)系成立
　　由此得到,在直角三角形a、b、c三邊中：
　　b-a之差可為1、2、3…
　　a-b之差可為1、2、3…
　　c-a之差可為1、2、3…
　　c-b之差可為1、2、3…
　　定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多種；
　　每種定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多個(gè)。
　　以上，我們給出了平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法。我們同樣能夠用代數(shù)方法證明，費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)沒有整數(shù)解。證明如下：
　　我們首先證明，增比計(jì)算法則在任意方次冪時(shí)都成立。
　　定理5，若a，b，c都是大于0的不同整數(shù)，m是大于1的整數(shù)，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方冪關(guān)系成立，則a，b，c，d，e增比后，同方冪關(guān)系仍成立。
　　證：在定理原式 a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比為n，n＞1，
　　得到 ： （n a）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m
　　原式化為 ： n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）
　　兩邊消掉 n^m后得到原式。
　　所以，同方冪數(shù)和差式之間存在增比計(jì)算法則，增比后仍是同方冪數(shù)。
　　故定理5得證
　　定理6，若a，b，c是不同整數(shù)且有a^m+b=c^m關(guān)系成立，其中b＞1，b不是a，c的同方冪數(shù)，當(dāng)a，b，c同比增大后，b仍然不是a，c的同方冪數(shù)。
　　證：取定理原式a^m+b=c^m
　　取增比為n，n＞1，得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m
　　原式化為： n^m（a^m+b）=n^mc^m
　　兩邊消掉n^m后得到原式。
　　由于b不能化為a，c的同方冪數(shù)，所以n^mb也不能化為a，c的同方冪數(shù)。
　　所以，同方冪數(shù)和差式間含有的不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在共同增比后，等式關(guān)系仍然成立。其中的同方冪數(shù)數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是同方冪數(shù)，不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是非同方冪數(shù)。
　　故定理6得證
　　一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪與絕對(duì)非方冪性質(zhì)
　　定義3，絕對(duì)某次方冪式
　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)某次方冪式。例如：n^2+2n+1，n^2+4n+4，
　　n^2+6n+9，……都是絕對(duì)2次方冪式；而n^3+3n^2+3n+1，n^3+6n^2+12n+8，……都是絕對(duì)3次方冪式。
　　一元絕對(duì)某次方冪式的一般形式為（n+b）^m（m＞1，b為常數(shù)項(xiàng)）的展開項(xiàng)。
　　定義4，絕對(duì)非某次方冪式
　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都不是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)非某次方冪式。例如：n^2+1，n^2+2，n^2+2n，…… 都是絕對(duì)非2次方冪式；而n^3+1，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，n^3+6n^2+8……都是絕對(duì)非3次方冪式。
　　當(dāng)一元代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很少時(shí)，我們很容易確定代數(shù)式是否絕對(duì)非某次方冪式，例如n^2+n是絕對(duì)非2次方冪式，n^7+n是絕對(duì)非7次方冪式，但當(dāng)代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很多時(shí)，得到絕對(duì)非某次方冪式的條件將越來越苛刻。
　　一元絕對(duì)非某次方冪式的一般形式為：在（n+b）^m（m＞2，b為常數(shù)項(xiàng)）的展開項(xiàng)中減除其中某一項(xiàng)。
　　推理：不是絕對(duì)m次方冪式和絕對(duì)非m次方冪式的方冪代數(shù)式必定在未知數(shù)取某一值時(shí)得出一個(gè)完全m次方數(shù)。例如：3n^2+4n+1不是絕對(duì)非3次方冪式，取n=1時(shí)有3n^2+4n+1=8=2^3，3n^2+3n+1不是絕對(duì)非2次方冪式，當(dāng)n=7時(shí)，3n^2+3n+1=169=13^2;
　　推理：不含方冪項(xiàng)的一元代數(shù)式對(duì)任何方冪沒有唯一性。2n+1=9=3^2，2n+1=49=7^2 …… 4n+4=64=8^2，4n+4=256=16^2 ……2n+1=27=3^3，2n+1=125=5^3 ……
　　證明：一元代數(shù)式存在m次絕對(duì)非方冪式；
　　在一元代數(shù)式中，未知數(shù)的不同取值，代數(shù)式將得到不同的計(jì)算結(jié)果。未知數(shù)與代式計(jì)算結(jié)果間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的，是等式可逆的，是純粹的定解關(guān)系。這就是一元代數(shù)式的代數(shù)公理。即可由代入未知數(shù)值的辦法對(duì)代數(shù)式求值，又可在給定代數(shù)式數(shù)值的條件下反過來對(duì)未知數(shù)求值。利用一元代數(shù)式的這些性質(zhì)，我們可實(shí)現(xiàn)整數(shù)的奇偶分類、余數(shù)分類和方冪分類。
　　當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為1時(shí)，完全立方數(shù)一元代數(shù)表達(dá)式的4項(xiàng)式的固定形式是（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，它一共由包括2個(gè)方冪項(xiàng)在內(nèi)的4個(gè)單項(xiàng)項(xiàng)元組成，對(duì)這個(gè)代數(shù)式中3個(gè)未知數(shù)項(xiàng)中任意一項(xiàng)的改動(dòng)和缺失，代數(shù)式都無(wú)法得出完全立方數(shù)。在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，我們鎖定其中的任意3項(xiàng)，則可得到必定含有方冪項(xiàng)的3個(gè)不同的一元代數(shù)式，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，對(duì)這3個(gè)代數(shù)式來說，使代數(shù)式的值成為立方數(shù)只能有唯一一個(gè)解，即補(bǔ)上缺失的第4項(xiàng)值，而且這個(gè)缺失項(xiàng)不取不行，取其它項(xiàng)值也不行。因?yàn)檫@些代數(shù)式與原立方代數(shù)式形成了固定的單項(xiàng)定差代數(shù)關(guān)系，這種代數(shù)關(guān)系的存在與未知數(shù)取值無(wú)關(guān)。這種關(guān)系是：
　　（n+1）^3-3n= n^3+3n^2+1
　　（n+1）^3-3n^2= n^3+3n+1
　　（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
　　所以得到：當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …
　　n^3+3n^2+1≠（n+1）^3
　　n^3+3n+1≠（n+1）^3
　　3n2+3n+1≠（n+1）^^3
　　即這3個(gè)代數(shù)式的值都不能等于（n+1）^3形完全立方數(shù)。
　　當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …時(shí)，（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1的值是從2開始的全體整數(shù)的立方，而 小于2的整數(shù)只有1，1^3=1，當(dāng)取n=1時(shí)，
　　n^3+3n^2+1=5≠1
　　n^3+3n+1=5≠1
　　3n^2+3n+1=7≠1
　　所以得到：當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …時(shí)，代數(shù)式n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1的值不等于全體整數(shù)的立方數(shù)。這些代數(shù)式是3次絕對(duì)非方冪式。
　　由以上方法我們能夠證明一元代數(shù)式：n^4+4n^3+6n^2+1，n^4+4n^3+4n+1，n^4+6n^2+4n+1，4n^3+6n^2+4n+1，在取n=1、2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全4次方數(shù)。這些代數(shù)式是4次絕對(duì)非方冪式。
　　能夠證明5次方以上的一元代數(shù)式（n+1）^m的展開項(xiàng)在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，鎖定其中的任意m項(xiàng)后，可得到m個(gè)不同的一元代數(shù)式，這m個(gè)不同的一元代數(shù)式在取n=1、2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全m次方數(shù)。這些代數(shù)式是m次絕對(duì)非方冪式。
　　現(xiàn)在我們用代數(shù)方法給出相鄰兩整數(shù)n與n+1的方冪數(shù)增項(xiàng)差公式；
　　2次方時(shí)有：（n+1）^2-n^2
　　=n^2+2n+1-n^2
　　=2n+1
　　所以，2次方相鄰整數(shù)的平方數(shù)的增項(xiàng)差公式為2n+1。
　　由于2n+1不含有方冪關(guān)系，而所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1，所以，當(dāng)2n+1為完全平方數(shù)時(shí)，必然存在n^2+（2√2n+1）^2=（n+1）^2即z-x=1之平方整數(shù)解關(guān)系，應(yīng)用增比計(jì)算法則，我們即可得到z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之平方整數(shù)解關(guān)系。但z-x＞1的xyz互素的平方整數(shù)解不能由增比法則得出，求得這些平方整數(shù)解的方法是：
　　由（n+2）^2-n^2=4n+4為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=2的平方整數(shù)解后增比；
　　由（n+3）^2-n^2=6n+9為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=3的平方整數(shù)解后增比；
　　由（n+4）^2-n^2=8n+16為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=4的平方整數(shù)解后增比；
　　……
　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，我們可得到整數(shù)中全部平方整數(shù)解。
　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為2時(shí)成立。
　　同時(shí)，由于所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1及某些偶數(shù)的冪方可表為4n+4，6n+9，8n+16 …… 所以，還必有x^2+y^n=z^2整數(shù)解關(guān)系成立。
　　3次方時(shí)有：（n+1）^3-n^3
　　=n^3+3n^2+3n+1-n^3
　　=3n^2+3n+1
　　所以，3次方相鄰整數(shù)的立方數(shù)的增項(xiàng)差公式為3n^2+3n+1。
　　由于3n^2+3n+1是（n+1）^3的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是3次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)3n^2+3n+1的值都不是完全立方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^3+（3√3n^2+3n+1 ）^3=（n+1）^3即z-x=1之立方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之立方整數(shù)解關(guān)系。但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些立方費(fèi)馬方程式的方法是：
　　由（n+2）^3-n^3=6n2+12n+8，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)；
　　由（n+3）^3-n^3=9n2+27n+27，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)；
　　由（n+4）^3-n^3=12n2+48n+64，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)；
　　……
　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程3次方關(guān)系經(jīng)過增比后將覆蓋全體整數(shù)。
　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為3時(shí)無(wú)整數(shù)解。
　　4次方時(shí)有；（n+1）^4-n^4
　　=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-n^4
　　=4n^3+6n^2+4n+1
　　所以，4次方相鄰整數(shù)的4次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為4n^3+6n^2+4n+1。
　　由于4n^3+6n^2+4n+1是（n+1）^4的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是4次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)4n^3+6n^2+4n+1的值都不是完全4次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^4+（4√4n3+6n2+4n+1）^4=（n+1）^4即z-x=1之4次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之4次方整數(shù)解關(guān)系。但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些4次方費(fèi)馬方程式的方法是：
　　由（n+1）^4-n^4=8n3+24n2+32n+16，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)；
　　由（n+1）^4-n^4=12n3+54n2+108n+81，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)；
　　由（n+1）^4-n^4=16n3+96n2+256n+256，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)；
　　……
　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程4次方關(guān)系經(jīng)過增比后將覆蓋全體整數(shù)。
　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為4時(shí)無(wú)整數(shù)解。
　　m次方時(shí)，相鄰整數(shù)的方冪數(shù)的增項(xiàng)差公式為：
　　（ n+1）^m-n^m
　　=n^m+mn^m-1+…+…+mn+1-n^m
　　=mn^m-1+…+…+mn+1
　　所以，m次方相鄰整數(shù)的m次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為mn^m-1+…+…+mn+1。
　　由于mn^m-1+…+…+mn+1是（n+1）^m的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是m次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)mn^m-1+…+…+mn+1 的值都不是完全m次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^m+（m√mn^m-1+…+…+mn+1）^m =（n+1）^m即z-x=1之m次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之m次方整數(shù)解關(guān)系。但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些m次方費(fèi)馬方程式的方法是：
　　由（n+2）^m-n^m=2mn^m-1+…+…+2^m-1 mn+2^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)；
　　由（n+3）^m-n^m=3mn^m-1+…+…+3^m-1 mn+3^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)；
　　由（n+4）^m-n^m=4mn^m-1+…+…+4^m-1 mn+4^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)；
　　……
　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程m次方關(guān)系經(jīng)過增比后將覆蓋全體整數(shù)。
　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為m時(shí)無(wú)整數(shù)解。
　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)永遠(yuǎn)沒有整數(shù)解。
　　費(fèi)馬大定理： 當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 無(wú)正整數(shù)解。
　　費(fèi)馬矩陣大定理：當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于m行m列矩陣X, Y, Z的不定矩陣方程 X^n + Y^n =Z^n. 矩陣的元素中至少有一個(gè)零。當(dāng)整數(shù)n = 2時(shí)，求m行m列矩陣X, Y, Z。